素數(shù)的定義很簡單,小學(xué)生都懂,但卻有許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)未解之謎都與它有關(guān)。
因此,素數(shù)在數(shù)論中的地位非常重要。
現(xiàn)在,一個跟它有關(guān)的猜想,就被26歲的牛津大學(xué)在讀博士生給證明了。
這是匈牙利數(shù)學(xué)家最早在1930年代提出來的一個關(guān)于原始集的問題。
由于小哥用到的都是已有論點,許多數(shù)學(xué)家都被他的聰明方法驚到了。
具體是什么,一起來看。
(前方一些高能預(yù)警。。)
來自1935年的猜想
首先,不知道原始集(Primitive sets)這個概念大家熟不熟。
它和素數(shù)的定義差不多,指的是一組不能互相被整除的數(shù)字的集合,比如{6,28,496,8128}。
當(dāng)然,這些數(shù)都要大于1。
由于素數(shù)只能被1和它本身整除,那么任何素數(shù)組成的集合就屬于一種特殊的原始集。
△ 圖源Quanta Magazine
原始集這個概念是由匈牙利數(shù)學(xué)家Paul Erd?s在1930年代提出的,最早只是用于證明起源于古希臘的完美數(shù)。
雖然它的定義很簡單,但圍繞著它也產(chǎn)生了一些很有趣的屬性。
比如你無法確定原始集到底有多少種組合,就比如在1-1000這些數(shù)中,占去一半數(shù)量的501-1000,拿出其中任意幾個數(shù)字都可以構(gòu)成一個原始集,因為它們都無法被互相整除。
不過雖然無法確定組合有多大,但Paul Erd?s發(fā)現(xiàn)對于任何原始集(包括無限集),它的“Erd?s和”都有上界,即小于或等于某個數(shù)字。
什么是“Erd?s和”?
就是對集合中的每個數(shù)字n求表達式1/(n log n)的和,用公式表達就是這樣:
比如集合{2, 3, 55},它的“Erd?s和”就等于 1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(55 log 55)。
前面說到,“Erd?s和”是有界的,但我們都沒法知道最大的集合長什么樣,這個界又何以知曉呢?
盡管如此,1988年,Erd?s還是給出了一個值,它推測這個界為某個素數(shù)組成的原始集的和,為1.64。
這個猜想也把素數(shù)再次推上了“特立獨行”的“風(fēng)口浪尖”(這也就是標題里所說的“一個素數(shù)猜想”的具體含義了)。
幾十年來,數(shù)學(xué)家們在證明這個猜想方面只取得了部分進展。
從大四接觸到這個問題就被迷住了
牛津大學(xué)的博士生小哥Jared Duker Lichtman,從2018年開始接觸到這個問題。
那會兒他還是達特茅斯學(xué)院的一名大四本科生。
他回憶稱,自己一下子就被這個猜想迷住了:“這么奇怪的推測怎么會是真的呢,太不可思議了吧?”
于是接下來的四年間,從本科到牛津大學(xué)讀博,小哥就跟這個猜想“杠”上了。
先證明了不大于1.78
誰能想到,2018年,他和他在達特茅斯學(xué)院的導(dǎo)師Carl Pomerance還真先一起側(cè)面證明了原始集的“Erd?s和”不會大于1.78左右的猜想。
這個猜想是美國數(shù)學(xué)家弗蘭茲·梅爾滕斯(Franz Mertens)提出來的。
他們算出這個常數(shù)的辦法是先寫下原始集中每個數(shù)字的倍數(shù),然后將每個序列中這些倍數(shù)進行分解,出現(xiàn)了比當(dāng)前原始數(shù)的最大質(zhì)因數(shù)還要小的因數(shù),就要丟掉。
然后將剩余的數(shù)字組成一個新集合。
舉個具體例子。
假如原始集為{2, 3, 5},那么2的最大質(zhì)因數(shù)是2,3的最大質(zhì)因數(shù)是3,5的最大質(zhì)因數(shù)是5。
所有2的倍數(shù)全部合格,因為它們都是2的公倍數(shù),沒有超過2的質(zhì)因數(shù)2;
所有3的倍數(shù)中,只要是素數(shù)2的公倍數(shù)(因為沒有超過質(zhì)因數(shù)3),都要被扔掉,也就是6、12、18都不合格;
所有5的倍數(shù)中,只要是素數(shù)2和3的公倍數(shù)(因為沒有超過質(zhì)因數(shù)5),也要被pass,因此10、15、20、30不合格;
再比如55的倍數(shù)中,只要是素數(shù)2、3、5、7的公倍數(shù),也要被pass,因為55的最大質(zhì)因數(shù)為11。
△ 圖源Quanta Magazine
牛津小哥將這種方法比作字典的索引方式,只不過字典是按字母,這是按素數(shù)來組織每個序列。
得到新的集合后,他和導(dǎo)師又開始算這些倍數(shù)序列的“密度”。就拿所有偶數(shù)來說,它的序列“密度”就是為1/2,因為所有偶數(shù)占所有整數(shù)的一半。
然后啊,他們就觀察到,如果給定的一個集合是原始集,那么所有倍數(shù)序列就不會重疊(overlap),因為他們的組合“密度”最多為1。
(為什么為1,因為整數(shù)的序列“密度”就是1。)
有了“密度”,就可以算集合的“Erd?s和”了,根據(jù)弗蘭茲·梅爾滕斯提出的定理,一個大約等于1.78的特殊常數(shù)乘以集合倍數(shù)的組合“密度”,就可以得出原始集的最大“Erd?s和”。
由于小哥和導(dǎo)師證明集合的“密度”最大為1,也就從側(cè)面證明了“Erd?s和”的最大值為1.78。
小哥在牛津大學(xué)的導(dǎo)師對此贊賞有加,稱小哥和原導(dǎo)師的方法其實是Paul Erd?s最初方法的一種變體,但它更巧妙,得到了一個“not-tight”和“not-too-bad”的上界。
與此同時,大家認為他們的這個方法似乎已經(jīng)是目前最頂尖的數(shù)學(xué)家才可以做到的。
再證明1.64
好,成功了一小步,接下來如何才能把范圍縮小,證明Erd?s給出的1.64呢?
小哥發(fā)現(xiàn),他和前導(dǎo)師的那一套理論對于質(zhì)因數(shù)較小的數(shù)字組成的原始集是有效的,可以比較輕松地就證明出來甚至比1.64還小的常數(shù)。
不過質(zhì)因數(shù)大了就不太行。
左思右想,轉(zhuǎn)眼到了博士三年級,他發(fā)現(xiàn)可以給集合中的每個數(shù)字關(guān)聯(lián)不止一個倍數(shù)序列。
但和之前一樣,所有這些序列的組合密度最多為1。
比如對于618這個數(shù)字(2 x 3 × 103)來說,按照以前的方法不可以出現(xiàn)比103倍還小的倍數(shù),但現(xiàn)在可以用比103倍還小的倍數(shù)組成序列,比如5倍。
(至于5倍還是幾倍,這都是有一套約束規(guī)則決定的。)
接著他又找到了一種更準確地算出這些序列的組合“密度”的方法。
最終,他仔細考慮了原始集的各種情況,在具有最大質(zhì)因數(shù)和最小質(zhì)因的數(shù)字之間找到了一個平衡,將2018年和現(xiàn)在的兩部分證明拼湊在一起,最終證明了“Erd?s和”小于1.64。
前后一共花了四年的小哥表示,得出這個結(jié)果不知道是運氣好碰上了還是啥,總之做到了。
詳細證明過程已經(jīng)被他寫成了論文發(fā)在了arXiv。
粗略一番……幾乎是三行一個公式的情況。感興趣的數(shù)學(xué)大佬可以去看看。
有數(shù)學(xué)家指出,牛津小哥這個證明結(jié)果真的太引人注目了,因為他的方法非常聰明,完全依賴于已有論點就做到了。
與此同時,同行還表示,這一證明鞏固了素數(shù)在原始集合中的特殊地位。
One More Thing
ps. 小哥有多厲害,可以從大家的反應(yīng)側(cè)面感受到。
就比如有網(wǎng)友通過小哥的個人主頁扒到他列出的最近出版物,發(fā)現(xiàn)從2018年到現(xiàn)在一共有至少18篇。
才讀到博士就有這么多論文,這一數(shù)字讓大家很是震驚。
但有人就站出來表示了:不足為奇,畢竟天才就是天才啊。(手動狗頭)
論文地址:https://arxiv.org/abs/2202.02384
參考鏈接:[1]https://www.quantamagazine.org/graduate-students-side-project-proves-prime-number-conjecture-20220606/[2]https://news.ycombinator.com/item?id=31640297
關(guān)鍵詞: 他26歲發(fā)表論文18篇 剛把上世紀的素數(shù)猜
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